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Pillole Di FEM #22 - Analisi Modale Avanzata. Quando non contano solo le frequenze.



In un precedente articolo si è parlato di analisi modale, del motivo per cui si fa e quali sono gli output che si possono ottenere da questa analisi.


Una domanda che molto spesso invece non viene trattata o che viene lasciata molto al caso è sapere quali sono i modi importanti per la struttura e soprattutto se se sono stati estratti tutti i modi.


Inoltre, un altro aspetti importante, è sapere se esistono delle configurazioni particolari che possono alterare i risultati dell'analisi modale.


In questo articolo vedremo quindi gli aspetti relativi all'analisi modale avanzata, concentrandoci su queste due domande:


  1. Come sapere quali sono i modi principali? Come sapere se ho estratto tutti i modi?

  2. Come posso simulare un analisi in cui non ho vincoli e condizioni al contorno?

  3. Il carico può influenza la risposta del materiale?


Quanti e quali modi considero?

Ogni volta che ci troviamo a scegliere il numero di modi da analizzare, non si è mai in grado di comprendere quale è il modo corretto da considerare.

Per poter comprendere a pieno il comportamento della struttura è necessario perciò introdurre due parametri:

  • Fattore di partecipazione modale;

  • Massa effettiva

Il Fattore di Partecipazione Modale è un parametro che ci informa, rispetto ad una delle direzioni principali del sistema cartesiano di riferimento, quale è il modo che sicuramente sarà eccitato da una sollecitazione in quella direzione. Se ad esempio abbiamo trovato 10 modi propri di una struttura, non tutti saranno importanti allo stesso modo. Il modo più importante sarà quello con il valore più elevato, mentre gli altri saranno trascurabili.

Quello che ci vuole comunicare questo parametro è la quantità di massa che effettivamente sta partecipando al modo in questione. Più è elevato, più la quantità di massa è alta.

La sua formulazione matematica è la seguente:

dove i termini scritti sono:

  1. Vettore della forma modale (phi);

  2. Matrice di Massa (M);

  3. Verttore delle direzioni principali secondo il sistema di riferimento considerato (D)


La massa effettiva invece, è quel parametro che ci serve per comprendere se tutti i modi sono stati calcolati. Infatti sommando tutte le masse effettive dei diversi modi in quella specifica direzione, si ottiene la massa totale. Pertanto se il rapporto tra la massa effettiva e la massa totale è superiore a 0.9, significa che sono stati calcolati la gran quantità dei modi. Se invece tale valore è molto più basso, allora dobbiamo continuare con l'indagine modale e cercare di aumentare il range di riferimento.

Dal punto di vista matematica esso è espresso come:

dove i simboli utilizzati hanno il significato noto.

Si proceda un esempio pratico. Si consideri una struttura di un telaio di una macchina come quella riportata in figura vincolata nei punti indicati con vincoli di cerniera.

figura 1: telaio di una macchina

Di questa struttura si sono voluti estrarre i primi 20 modi.


Si riportano i risultati relativi al fattore di partecipazione relativi alla direzione X.

tabella 1: risultati fattore di partecipazione direzione x

Analizzando i risultati, si vede come, dei primi 20 modi, quelli importanti per la direzione X (direzione longitudinale del veicolo), quelli veramente importanti sono solamente il modo a 8 Hz ed il modo a 20Hz. Pertanto la possibilità che questi modi siano eccitati da una sollecitazione in questa direzione è molto più elevata rispetto rispetto agli altri. Per tali modi, la massa che partecipa al moto del modo è pari rispettivamente al 18% della massa totale. Si vede nel video qui sotto la forma modale del modo a 8.02 Hz


video 1: modo a 7.87 Hz

Analizzando invece il rapporto di massa effettiva, si nota come tale valore, rispetto a quella ordinata, sia intorno al 40 % (per l'esattezza 0.437778). Significa che per questa direzione si devono aumentare in maniera considerevole il numero di modi da ricercare.

Si riporta a confronto la tabella con i dati relativi alla direzione Y (direzione trasversale).

tabella 2: risultati fattore di partecipazione direzione y

Si vede in questo caso come il rapporto di massa rispetto alla massas totale sia pari a circa l'86%. Questo significa che in questa direzione la maggior parte dei modi significativi è stata identificata.

Nel video qui sotto si riporta la deformata modale relativa al primo modo, dove abbiamo che circa il 30% della struttura compartecipa al modo laterale.


video 2: modo a 8.02 Hz

Perciò significa che una forzante laterale di 8Hz sicuramente ecciterà il primo modo rispetto al secondo modo.


Come mi comporto se la struttura non è vincolata?

Un altro aspetto da tenere in considerazione è la possibilità di dover ricercare le frequenze proprie di tutte quelle strutture che nella loro vita operativa non sono soggette a vincoli. Mi riferisco per la precisione al caso di aerei (o droni) in fase di volo libero, imbarcazioni o strutture che per loro natura si muovono in un fluido senza avere nessun ancoraggio (ad esempio una pallina da tennis colpita da una racchetta e che oscilla nello spazio dopo il colpo).

Per analizzare questa tipologie di strutture, si procede sempre con una classica analisi modale, solo che la ricerca deve essere effettuata con un numero di modi almeno superiore a 7. questo perchè i primi 6 modi che si andranno a trovare rappresenteranno i modi rigidi nelle 6 direzioni principali e solamente dal settimono modo in poi avremo il modo proprio della struttura.

Infatti, i primi sei modi saranno modi a frequenza nulla (o con valori di frequenza talmente bassi da poter essere trascurati) e solamente dal settimo modo in poi avremo il valore della frequenza libera della struttura.

A titolo di esempio consideriamo un drone in alluminio con una massa che simula il motore posteriore.

figura 2: drone in alluminio

Se vogliamo analizzare la struttura così come è, non possiamo vincolarla in alcun modo perchè si perderebbero la sua rappresentazione reale.

Si riporta in tabella il valore delle prime 12 frequenze.

tabella 3: risultati primi 12 modi analisi free/free

Si può notare come i primi 6 modi abbiamo un valore di frequenza prossimo allo zero mentre dal settimo modo in poi si ha frequenza di circa 23Hz.

Questo è per l'appunto il primo modo libero della struttura.

Tali analisi sono chiamate analisi free-free.

Si riportano le animazioni del modo 2 a 0Hz e del modo a 23Hz.


video 3: modo a 0 Hz - Free/Free

video 4: modo a 23 Hz - Free/Free

Può il carico influenzare le frequenza propria?

Ultimo aspetto da trattare nelle analisi modali, di cui poche volte si prende atto, è la possibilità che il carico possa influenzare la frequenza propria di una struttura. Se questa frase può sembrare strana, si pensi molto banalmente ad una corda di chitarra. A seconda di quanto viene tirata, varierà la sua frequenza propria. Altro esempio sono le colonne di cemento armato, che vengono precompresse per essere più rigide. Questo fenomeno, che è un fenomeno "non lineare" che prende il nome di hardening o softening. Se da un punto di vista di resistenza statica è da trattarsi come una non linearità, dal punto di vista di analisi modale il campo di stress andrà ad integrarsi al rigidezza della struttura, andando a modificare la risposta in frequenza.

Si riporta qui sotto la formulazione matematica del problema:

si vede pertanto che dal classico problema di analisi statica si ricava il campo di deformazione, da cui poi si ricava il campo di stress. Il campo di stress (vettore sigma) viene convertito nella sua matrice di riferimento S.

Considerando la formulazione classica del problema modale, si sostituisce alla matrice K la matrice K+S e si risolve il nuovo problema. Le motivazioni di questa sostituzione non sono riportate, ma possono essere trovate in qualsiasi libro di calcolo FEM.

E' facilmente intuibile come gli stati di tensione aumentino le frequenze mentre gli stati a compressione tendano a diminuirli.

Facciamo un esempio pratico. Consideriamo una trave circolare come quella rappresentata in figura.

figura 3: trave tubolare

La struttura è vincolata da una parte e caricata dall'altra.

Si riportano in tabella i valori di frequenza ottenuti nei diversi casi.

tabella 4: confronto risultati analisi non stressata e analisi prestressata

Si può osservare come i valori di frequenza, dopo l'applicazione del carico, sono fortemente cambiati. E' anche vero che questa tipologia di analisi ha senso solamente per valori di carico molto elevati. In questo esercizio didattico si è avuto uno spostamento di circa 65 mm a fronte di una lunghezza iniziale di circa 1 metro.

Da notare come sono cambiate anche le deformate modali. Nel primo caso la zona in cui è applicato il carico è libera mentre nel secondo caso, è come se sulla faccia esterna fosse applicato un vincolo di carrello orizzontale.



video 5: primo modo struttura non prestressata

video 6: primo modo struttura prestressata

Conclusioni

Si è visto come fare un analisi modale è molto di più che ricercare le frequenze proprie di una struttura per verificare che una forzanta possa portare la struttura in risonanza. Nella realtà essa è molto più complessa. Ovviamente sta alla discrezione dell'analista scegliere quanto scegliere in dettaglio nell'analisi, pure in base alla sua esperienza.

Se questo articolo ti è piaciuto mi raccomando condivi e soprattutto #stayfem


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