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Pillole Di FEM #17 - Non Linearità Geometriche – Perché possono farti sbagliare (ed anche di tanto).

Aggiornamento: 13 giu 2023




Fino ad ora abbiamo sempre fatto l'ipotesi di comportamento lineare della geometria, tramite l'approssimazione di piccoli spostamenti e tramite la sovrapposizione degli effetti.

Nella realtà però le cose non funzionano proprio così.


Questi semplificazioni, ad un certo punto, possono portarti a delle considerazioni errate sul comportamento della struttura.


In questo articolo andremo a vedere quali sono gli effetti legati alle non linearità geometriche ed a come possano cambiare completamente i risultati.


IL CONCETTO DI GRANDI SPOSTAMENTI


Possiamo racchiudere il concetto di grandi spostamenti dietro un unica frase, ossia "quando non è possibile approssimare il seno di un angolo con il proprio angolo ed il coseno di un angolo con 1".



Figura 1: trave a mensola e teoria dei piccoli spostamenti

All'università viene insegnato che il valore soglia oltre cui questa approssimazione non vale è circa 1/10 della dimensione di riferimento.

Cosa succede se superato questo valore continuiamo con questa approssimazione?

Figura 2: andamento spostamento per piccoli spostamenti e grandi spostamenti

Nell'immagine vediamo che se continuiamo con un comportamento lineare (andamento blu) anche quando questo non è valido, si tende a commettere un errore tanto grande quanto è l'entità dello spostamento in esame.


GLI IRRIGIDIMENTI O RILASSAMENTI CAUSATI DALLE NON LINEARITA' GEOMETRICHE


Altro aspetto che si presenta nel mondo delle non linearità geometriche e che deriva dal modo con cui viene risolto il problema, è il fenomeno di irrigidimento o rilassamento della struttura.

Per capirlo in pieno facciamo un esempio pratico.

Immaginiamo di avere una trave caricata come in figura.

Figura 3: trave caricata con due forze

Nel modello lineare la soluzione potrebbe essere ricava come sovrapposizione degli effetti.


Se invece consideriamo le non linerità geometriche, andiamo a dire che le due forze si influenzano tra di loro. Questo succede perchè il calcolo, che è un calcolo non più diretto come il primo caso, ma iterativo, applica l'incremento di carico sulla nuova configurazione deformata ottenuta.


Nel caso in esame, è facile intuire come la forza F! crea una cerca eccentricità che sarà utilizzata dalla forza F2 per generare un momento flettente che aumenterà la deformata.


Figura 4: spostamento dovuto ad un analisi non lineare

In questo caso stiamo assistendo ad un fenomeno di ammorbidimento dello struttura da un punto di vista puramente geometrico. Infatti non stiamo trattando da nessun punto di vista le caratteristiche del materiale!!!!


Se invece la forza F2 fosse di trazione, andrebbe a creare un campo di stress interno di precarico che la forza F1 dovrebbe vincere per poter spostare verso il basso il punto F1 (non voglio riportare nessuna formulazione matematica per non appesantire troppo il discorso).


ENTRIAMO NEL PRATICO: CENNI DI K-JOINT


Per entrare nel pratico e vedere un caso applicativo di quanto detto, analizziamo un k-joint.

I giunti a K, altro non sono che le modalità di collegamento con cui andiamo a creare una struttura potante reticolare.


Questi giunti, se analizzati dal punto di vista lineare, possono presentare problemi perchè il loro comportamento può essere fortemente non lineare data la loro configurazione geometrica.

Figura 5: geometria del k-joint

Questo argomento sarà trattato in maniera precisa in un articolo di #MondoCAE. Per adesso andiamo a vedere solamente l'errore che si commette non considerando la non linearità.


La struttura in questione è caricata in questo modo:

Figura 6: schema di carico del k-joint

Possiamo notare come lo schema di carico sia simile a quello dell'esempio di prima.


Vediamo le due deformate nel caso lineare e nel caso non lineare:


Figura 7: deformata di un k-joint secondo modello lineare


Figura 8: deformata di un k-joint secondo modello non lineare geometrico

Analizzando le due deformate ottenute, si vede come nel secondo caso, considerando la geometria dal punto di vista non lineare, la struttura presenta un fattore di ammorbidimento che porta la stessa ad un collasso locale (da notare la diversa configurazione della deformata con una configurazione ad onda), mentre nel primo caso lo spanciamento della trave portante è dovuto solamente al carico verticale, proprio come ci si aspetterebbe dal classico fenomeno della sovrapposizione degli effetti.


Da notare che con l'analisi non lineare (geometrica) abbiamo ottenuto quella che sembra essere una tipica deformata di buckling. Pertanto le analisi non lineari sono in grado di effettuare un analisi di post-buckling.


Per farlo è necessario vedere l'andamento della curva di carico rispetto allo spotamento e vedere quanto si verifica una variazione di gradiente di forza, ma questo argomento sarà analizzato, insieme ad altre tipologie di non-linearità, in altre #pilloledifem.


Ing. Francesco Grispo

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