Pillole Di FEM #21 - Analisi a Fatica A Sollecitazione Variabile
Nei precedenti articoli riguardanti l'analisi a fatica, abbiamo parlato di come si può effettuare un dimensionamento a fatica partendo dalla caratteristica del carico alternato e di come il carico medio sia un fattore che contribuisce alle performance del progetto, abbassando i valori massimi ma non abbiamo mai parlato delle analisi a fatica a sollecitazione variabile.
L'ipotesi che è stata effettuata fino ad ora riguardava la presenza di una forzante con una sola frequenza. Parlavamo quindi di carico monocromatico e non ci interessava per niente la presenza di più frequenze.
Nella realtà i carichi ciclici a cui è soggetta una struttura sono policromatici. Inoltre è fondamentale anche la storia di carico e di danneggiamento, in quanto una struttura che ha 10 anni ha sicuramente una vita a fatica molto più bassa della struttura appena costruita.
In questo articolo tratteremo quindi il concetto di danneggiamento della struttura, per via dei diversi cicli alle diverse frequenze e come è possibile ricavare le informazioni del singolo ciclo da una generica storia di cariamento.
La legge di Miner
La legge di Miner ci dice che il danno accumulato dal materiale per effetto di un carico ciclico è proporzionale al rapporto tra il numero di cicli che il componente ha subito (ni) ed il numero ci cicli Ni per cui la rottura avviene per quel livello di carico.
Figura 1: Storia di Carico
La regola del danno cumulativo lineare assume pertanto che la vita totale di un componente può essere stimata sommando la frazione di vita consumata da ogni ciclo rispetto al limite di fatica.
In pratica quando il totale di questa somma fa 1, il componente si rompe (o danneggia).
Questo approccio è tanto semplice quanto intuitivo.
La vera difficoltà da questo punto di vista sta nel riuscire il numero dei rispettivi cicli alle diverse frequenze.
Metodo Di Conteggio
Partiamo dal presupposto che una tipica storia di carico non è come quella rappresenta in figura 1 ma è molto più complicata. Prendiamo ad esempio la storia di carico in figura 2.
Figura 2: Storia di Carico Reale
Come faccio a vedere quanti cicli sono? Quanto è la frequenza di ogni ciclo? E come posso ricavare i valori di carico medio e carico alternato?
Per rispondere a queste domande sono stati sviluppati diversi algoritmi tra cui quelli più utilizzati sono:
Rainflow Method
Serbatoio.
In questo articolo si parlerà solamente del Rainflow, lasciando a te lettore la capacità di scoprire gli altri.
Rainflow Method
Il metodo del rainflow prevede di studiare la storia di carico come se fosse il tetto di una pagoda. Lasciando cadere una goccia dall'alto, la goccia prenderà in considerazione solamente i tetti che saranno più esterno rispetto a quello superiore, non considerando, per quel livello di carico, i tetti che sono più interni.
Figura 3: Tetto di una pagoda.
Notiamo come il ciclo rosso oscuri e mandi in ombra il ciclo verde. Il ciclo verde avrà una sua frequenza mentre il ciclo rosso avrà la sua frequenza. Possiamo notare come le diverse frequenze dei diversi cicli siano automaticamente determinati.
Ecco qui di seguito l'algoritmo:
Si riduce la storia temporale ad una sequenza di picchi (trazione) e valli (zone di compressione).
Si ruota la storia di carico di 90 grado, con il tempo che scorre positivamente verso il basso;
Si effettuano due analisi, una per i picchi ed una per le valli.
Ogni picco/valle viene considerato come una sorgente di gocce.
Per contare il numero di cicli si procede come segue:
Quando la sequenza raggiunge la fine della storia di carico;
Quando si fonde con un flusso che è iniziato in corrispondenza di un precedente picco di trazione;
Un picco di trazione opposto ha intensità maggiore o uguale a quello da cui siamo partiti
Si calcolano allo stesso modo i cicli della parte ci compressione e poi si sommano i cicli completi, ossia quelli che hanno stessa ampiezza ma segno opposto. Solitamente si hanno alcuni semicicli residui.
ESEMPIO PRATICO
Analizziamo il ciclo in figura 3.
In questo caso il ciclo è stato girato di 90 gradi e sono stati conteggiati solamente i semicicli che vanno da destra a sinistra.
Figura 4: Semicicli di Trazione
Possiamo identificare i seguenti sottocicli:
Ciclo 1-2: In questo caso, poiché il valore del picco 3 è superiore al valore del picco 1, il conteggio si ferma e si prende come semiciclo l'intervallo 1-2 con valore massimo pari a 2 e valore minimo pari a -14.
Ciclo 3-4: Poichè il valore del picco 5 è superiore al valore del picco in 3, il conteggio si ferma e si prende come semiciclo l'intervallo 3-4 con valore massimo 10 e valore minimo 0;
Ciclo 5-6: Poichè il valore del picco 7 è inferiore al valore del picco in 5, il conteggio continua e si passa ad analizzare il valore in 9. Anche in questo caso il valore del picco è inferiore, pertanto si prosegue ad analizzare il picco 11. Qui si vede come il valore del picco 11 sia superiore al valore del picco in 5, pertanto si avrà che il valore massimo sarà dato dal valore in 5 mentre il valore minimo sarà dato dal valore in 10.
Ciclo 7-8: Il valore in 9 è inferiore al valore in 7. Perciò si continua. Ci si ferma in 10 perchè li il ciclo precedente chiude il passaggio. I valore massimo e minimo saranno perciò 11 e -9.
Ciclo 9-10: Il ciclo parte da 9 ma si ferma al valore che si avrebbe in 8, non potendo proseguire perchè il passaggio è bloccato.
Ciclo 11-12: Essendo che il valore in 13 è inferiore al valore in 11 si prosegue ad analizzare il valore in 15. Anche il valore in 15 è inferiore. Essendo che il valore in 12 è inferiore al valore in14 ed in 16, si arriva fino a fine ciclo. I valore massimo e minimo per questo ciclo sono 11 e 15
Ciclo 13-14: Presenta un comportamento come il ciclo 1-2. I valori massimo e minimo sono 10 e 0.
Ciclo 15-16: Essendo l'ultimo ciclo, i valori massimo e minimo sono i valori 13 e 0.
Riportiamo tutto in una tabella di riepilogo,
Tabella 1: Semicicli di trazione - Valori
A te lettore lascio l'esercizio di computare i valori della tabella di riepilogo per la parte di cicli di compressione.
Qui di seguito il grafico e la tabella.
Figura 5: Semicicli di Compressione
Tabella 2: Semicicli di compressione - Valori
Unendo le informazioni della tabella 1 con quelle della tabella 2, otteniamo il numero di sottocicli per ogni delta di carico, con i relativi valori di massimo, minimo, medio e alternato.
Tabella 3: Subcicli compreli per singola storia di carico con valori medio e alternato, massimo e minimo e frquenza di ogni subciclo
Conoscendo ora i tutti i dati del singolo ciclo, è possibile stimare il danno derivante da ogni subciclo.
Se ad esempio ipotizziamo che la vita richiesta sia pari a Nreq=100000 cicli e che ogni ciclo è composto dal numero in tabella dei sottocicli, sappiamo che ad esempio il ciclo con range 16 si scaricherà per sul componente per
Conoscendo i valori di sigma alternato e sigma medio siamo in grado di calcolare, tramite la curva del materiale, il numero di cicli ammissibili per quella storia di carico. Ipotizzando che il numero di cicli di cicli ammissibili sia 5000000, vediamo che il subciclo 1, per tutta la vita del componente, provoca un danneggiamento pari a :
Calcolando il danno per ogni sottociclo, si potrà calcolare il danneggiamento finale tramite la relazione qui sotto, dove il componente risulta verificato se il danneggiamento risutla inferiore a 1.
E come lo uso nel FEM?
Come abbiamo visto nei precedenti articoli, la parte di analisi a fatica altro non è per il FEM che una procedura di post processing. L'unica accortezza sta nel capire quali sono i carichi da applicare. In questo caso si dovranno fare tanti load cases quanti sono i sottocicli e per ognuno di essi si andrà ad effettuare un caso per il valore medio e un caso per il valore alternato.
Se ad esempio, come nel caso dell'esempio, abbiamo 8 range di carico, i load cases da impostare saranno al più 16, ossia 8 di valore medio e 8 per il valore alternato.
Se vuoi saperne di più su questo o altri argomenti, non esitare a contattarmi e continua a seguirmi sui miei social per altre #pilloledifem
Ing. Francesco Grispo
N.B: Questo articolo non vuole in alcun modo essere un corso su calcolo a fatica ma ha il solo scopo di informare e di far comprendere la mentalità con cui approcciarsi al calcolo. Si consiglia sempre di affidarsi a corsi ufficiali o corsi universitari per apprendere al meglio tali metodologie di calcolo.
Non utilizzate quanto riportato in questo articolo per i vostri dimensionamenti.
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