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Pillole Di CFD #4 - Una guida pratica al y+.



Sappiamo che la modellazione della turbolenza nella fluidodinamica computazionale è un aspetto cruciale per poter avere dei risultati che sono validi oppure no e che i diversi modelli che si utilizzano per poter rappresentare tale comportamento sono fortemente influenzati dalla presenza delle pareti.


Nel precedente articolo delle pilloledicfd ho parlato dei modelli utilizzati per modellizzare questo fenomeno. Fintanto che gli aspetti salienti dell'analisi sono collegati con l'interno del flusso, quanto detto nel precedente articolo è perfettamente sufficiente per rappresentare il comportamento del flusso. Il problema sussiste quando dobbiamo rappresentare la turbolenza all'interno dello strato limite. Come simuliamo questo fenomeno? Come si comporta la turbolenza all'interno di tale strato?


LO STRATO LIMITE

Figura 1: lo strato limite nelle sue diverse zone

Lo strato limite (in inglese boundary layer) indica una zona adiacente ad una interfaccia in corrispondenza della quale si ha una brusca variazione di una grandezza di velocità.

Ipotizzando di avere una lastra piana investita da un flusso di un fluido, possiamo vedere come dal bordo di attacco possiamo identificare tre differenti zone sulla sua lunghezza:

  1. Strato Limite Laminare: Zona in cui prevalgono gli sforzi viscosi rispetto agli sforzi inerziali. In questa zona le diverse linee di flusso sono ben distinte e non si ha la presenza di turbolenza (vortici) che rimescolano la grandezza di riferimento.

  2. Strato Limite Transitorio: Nella zona di transizione abbiamo un iniziale variazione della tipologia di flusso. In tale zona non si ha una distinzione netta tra laminare e turbolento.

  3. Strato Limite Turbolento: In questa zona dello strato limite è presente una marcata turbolenza che ha portato al distacco dello strato limite ed al generarsi dei vortici di turbolenza.

La zona turbolenta a parete presenta 3 differenti zone:

  1. Substrato Viscoso: Questa è la zona più vicina alla parete solida, dove gli effetti viscosi dominano il flusso. È caratterizzata da una riduzione graduale della velocità del fluido, un aumento del gradiente di velocità e una viscosità significativa. La turbolenza è relativamente bassa e il flusso è fortemente influenzato dalla viscosità.

  2. Zona Di Buffer: La zona di buffer si trova appena al di sopra dello strato viscoso. In questa regione, gli effetti viscosi e turbolenti si combinano. La turbolenza inizia ad aumentare e il flusso diventa meno dipendente dalla viscosità. La velocità del fluido varia in modo più graduale rispetto alla sub-pellicola di spostamento viscosa.

  3. Zona Turbolenta: è la regione più esterna dello strato limite e si estende fino al flusso esterno. Qui, la turbolenza è il fattore dominante e il flusso è fortemente turbolento. Il profilo di velocità in questa zona segue una legge logaritmica, dove la relazione tra la velocità del fluido e la distanza dalla parete segue una scala logaritmica. La legge dei logaritmi è una caratteristica chiave del flusso turbolento nello strato limite.


I DIVERSI APPROCCI E LE FUNZIONI DI PARETE


Per poter rappresentare al meglio tale regione, possiamo seguire due diverse strade:

  1. La prima strada è quella di integrare la turbolenza nella zona di parete. Il modello di turbolenza viene modificato per poter abilitare gli effetti della regione viscosa. La mesh a parete è molto fitta e serve per poter catturare al meglio il comportamento della turbolenza. Questo approccio è tipico dei modelli SST ( loro modifiche come il modello k-omega). Questo approccio è utile quando sono importanti i valori di forza agenti sul corpo. Tipicamente ha a che fare con l'aerodinamica esterna.

  2. La seconda strada prevede l'utilizzo di una funzione di parete. Questa funzione è una formulazione matematica che riproduce l'andamento della velocità dello strato limite al crescere della velocità e della distanza dalla parete. In questo caso non è necessario risolvere lo strato limite ma è sufficiente settare opportunamente la mesh del dominio computazionale. Questo approccio è tipico dei modelli k-eps. Questo approccio è utile quando ci interessa solamente l'andamento del flusso all'interno del fluido sviluppato. Tipicamente ha a che fare con la fluidodinamica interna.


Figura 2: rappresentazione dei diversi approcci con le diverse dimensioni di mesh

COS'E' il y+?


Poichè lo strato limite cresce con la distanza dal bordo di attacco della parete, è necessario trovare un modo per rappresentare questa distanza a dalla parete a prescindere dal suo sviluppo. Per tale motivo è stato introdotto il y+.

Questo altro non è che un parametro adimensionale utilizzato per caratterizzare lo strato limite in una simulazione fluidodinamica computazionale (CFD). Rappresenta il rapporto tra la distanza dalla parete più vicina (misurata in termini di distanza dalla parete divisa dalla lunghezza del diametro idraulico locale) e la lunghezza della sub-pellicola di spostamento viscosa.


Il valore del y+ è critico per determinare il corretto utilizzo dei modelli di turbolenza. La corretta scelta del y+ consente di definire l'approccio più adatto per risolvere il flusso turbolento. Valori di y+ adeguati sono necessari per garantire che il modello di turbolenza utilizzi correttamente la legge dei logaritmi del profilo di velocità vicino alla parete, dove la turbolenza è più intensa. Inoltre, il y+ influisce sulla predizione della resistenza al fluido, della separazione dello strato limite e di altri fenomeni di rilevanza ingegneristica.


Tale parametro si può interpretare come il numero di reynolds locale, il che significa che il suo valore può essere utilizzato per determinare l'importanza relativa tra i processi viscosi ed i processi turbolenti.


La formula per calcolare il parametro y+ può essere scritta come funzione della distanza dalla parete (d): y+ = (ρ * u * d) / τ_w dove:

  • d è la distanza dalla parete più vicina, misurata in termini di distanza dalla parete stessa

  • τ_w è lo sforzo di parete, che rappresenta la forza per unità di area esercitata dal fluido sulla parete

  • ρ è la densità del fluido

  • u è la velocità del flusso incidente



COME COLLEGO IL Y+ CON LA GRANDEZZA DELLA MESH?


Dobbiamo mettere insieme quanto abbiamo detto. Sappiamo che possiamo utilizzare due diversi approcci per modellare la turbolenza a parete e che questi dipendono dal modello di turbolenza che utilizziamo. Visto che esistono due possibili approcci al trattamento di questo problema, allora esisteranno diversi valori di altezza prima cella a seconda del modello utilizzato.


  1. Se utilizziamo un approccio di tipo integrativo, allora è necessario avere un valore di y+ pari a 1. Il motivo è che, dovendo cogliere i diversi strati viscosi in maniera perfetta, dovremo avere la prima cella alta quanto il primo substrato viscoso. Questo approccio si utilizza, come già detto, con i modelli di tipo k-omega.

  2. Se invece utilizziamo una modellazione di tipo funzione di parete (tipica degli approcci k-eps) allora l'altezza della prima cella dovrà coincidere con l'altezza di tutto lo strato limite (con le funzioni di parete si approssima l'andamento dello strato limite con una funzione di tipo logartimico). Valori tipici di y+ si è visto empiricamente che potranno essere compresi tra 30 e 300. Al di sotto ed al di sopra di questi valori il calcolo non è da ritenersi valido.

COME CALCOLO L'ALTEZZA DELLA PRIMA CELLA IN BASE AL Y+ DESIDERATO?


Per poter calcolare l'altezza della prima cella in base al y+ desiderato, si può utilizzare, in prima approssimazione, un approccio con la teoria dello strato limite su lastra piana.

Questo si può riassumere in questa maniera.


E' necessario conoscere i seguenti dati: Velocità del flusso, Dimensione Caratteristica, densità del fluido, viscosità dinamica del fluido, il valore di y+ desiderato.


Il primo step è quello di procedere al calcolo del numero di Reynolds

Conoscendo il valore di Reynolds è possibile calcolare il valore degli sforzi a parete, tramite le seguenti relazioni (dove Cf rappresenta il coefficiente di attrito a parete). Questo è il passaggio critico e dove si concentra la maggior parte della ricerca, ossia come stimare il tw.

Conoscendo gli sforzi di taglio a parete, posso calcolare la velocità a parete nel substrato viscoso:

Ed infine posso calcolare l'altezza della prima cella:


COME ADATTO LA MESH DELLA ZONA A PARETE CON LA MESH GENERALE?

Da quanto ci siamo detti, potrebbe sembrare che è necessario impostare l'altezza della prima cella rispettando il y+ desiderato e meshare il corpo in maniera indipendente.

Nella realtà non è proprio così.

Si sa che in qualsiasi calcolo CAE, la distribuzione della mesh deve evitare di avere dei growth elevati rate tra i diversi elementi a contatto. Nel nostro caso specifico è completamente da evitare una situazione come quella rappresentata nella figura qui sotto


Figura 3: mesh con strato a limite a parete non ottimizzato

Si può notare che nella parte inferiore della mesh è stato impostata una altezza della prima cella mentre nel resto del dominio si hanno elementi molto più grandi.


Quello che si dovrebbe cercare di ottenere invece è una situazione di questo tipo:


Figura 4: mesh con strato a limite a parete ottimizzato

Si può notare come la mesh sia molto più graduale e molto più "esteticamente" accattivante (il discorso che se piace alla vista allora può essere corretto, per quanto poco ingegneristico, è pur sempre valido).


PROCEDURA PRATICA PER IL CALCOLO DEL Y+

A prescindere dal software che tu stia utilizzando, una buona procedura per impostare il y+ nella tua simulazione può essere questa. Non è una procedura ufficiale ma è quella che utilizzo io nelle mie simulazioni:

  1. Calcolo della altezza prima cella tramite la velocità all'infinito. Se non la si conosce, stimare la velocità del flusso tramite la teoria e successivamente calcolare l'altezza prima cella.

  2. Creare una prima mesh con un altezza prima cella uniforme. Ovviamente si deve avere una certa gradualità tra celle di strato limite e celle del flusso.

  3. Primo run per stimare il flusso. Tramite questo primo run si identificano le zone di y+ in cui siamo completamente fuori dai valori desiderati. Attenzione se queste zone fanno riferimento o meno a zone di interesse.

  4. Ritornare alla mesh ed adattare l'altezza prima cella della zona interessata dai valori fuori dal range desiderato per ottenere un y+ corretto.

  5. Rilanciare l'analisi e ripete l'operazione fino ad arrivare a convergenza.


Ing. Francesco Grispo


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