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Pillole Di CFD #5 - La condizione di CFL - Come la mesh influenza il timestep





La condizione di CFL o condizione di Courant - Friedrichs-Lewy è una condizione che indica la stabilità o instabilità di una simulazione CFD.


Ma cosa dice tale condizione?

Come forse sapete, il mondo della simulazione CFD altro non è che l'analisi di un informazione che viaggia nello spazio discretizzato. Tale informazione deve poter viaggiare senza problemi all'interno della griglia, altrimenti potrebbe dar luogo a problemi di campionatura.

Infatti, se ipotizziamo una certa informazione che viaggia ad una certa velocità nel nostro dominio, se la campionatura non coincide con almeno ogni singola cella della nostra di calcolo, si ottiene una perdita di informazione.

Ed ottenere una perdita di informazione significa che alla fine il risultato ottenuto potrebbe differire ed anche di molto dal risultato aspettato o reale (immaginate di giocare al telefono senza fili dove invece che capire tutte le lettere della frase, ne riuscite a sentire una si e una no).


Al contrario, se riusciamo a far coincidire la campioantura con almeno la cella esatta, possiamo sicuramente affermare che l'informazione si stia propagando il maniera perfetta ed alla fine del nostro conto possiamo essere sicuro che almeno lo schema numerico non ha introdotto errori.

Figura 1: Condizione di Courant divergente e convergente

Possiamo facilmente intuire come una discretizzazione temporale che dipende dalla dimensione spaziale possa influire e non



LA CONDIZIONE DI CFL DAL PUNTO DI VISTA MATEMATICO

Andiamo a vedere la condizione di CFL dal punto di vista matematico.


Da quanto detto sopra, guardando l'immagine in figura 1, è facilmente intuibile questa condizione:



Infatti, poiché la campionatura dell'informazione deve coincidere con la velocità di propagazione, significa che il rapporto tra la velocità e la velocità di campionatura deve essere al massimo unitario.


Più complesso quando abbiamo a che fare con un informazione che si muove in due direzioni diverse. In questo caso la condizione diventa:


Generalizzando possiamo scrivere:





UN ESEMPIO PRATICO DELLA CONDIZIONE DI CFL

Per comprendere come varia il comportamento della simulazione al variare della condizione di CFL, vediamo due differenti analisi sulla stessa geometria.

Si vuole pertanto studiare il flusso d'aria da sinistra a destra con un ostacolo rigido al suo interno, come rappresentato nella figura qui sotto.


Figura 2: geometria analizzata

La velocità del flusso è di 25 m/s mentre la dimensione della mesh è di 10 mm.


Nel primo caso abbiamo utilizzato un timestep pari a 0.005 secondi mentre nel secondo caso si è utilizzato un timestep pari a 0.0002. Il tempo totale di simulazione è 1 secondo.


Essendo il flusso principalmente monodirezionale, anche se nella zona in cui è presente l'ostacolo il flusso diventa bidirezionale, abbiamo calcolato che i valori di CFL sono:

  • CFL1 = 12.5

  • CFL2 = 0.0002

Nel primo caso mi aspetto un andamento che possa produrre diversi errori mentre nel secondo caso la soluzione sarà più accurata.


immaginate di giocare al telefono senza fili dove, invece di capire tutte le lettere della frase, ne riuscite a sentire una si e una no

Analizziamo i diversi grafici dei residui, possiamo notare come nel primo caso i residui siamo molto elevati e producano delle oscillazioni importanti, mentre nel secondo caso, avendo abbassato il timestep, l'andamento dei residui sia dell'ordine di 10^-6, con un andamento monotono.

Attenzione che comunque i diversi grafici indicano simulazioni temporali differenti.



Figura 3: Residui CFL >1

Figura 4: Residui CFL <1

Per far comprendere la differenza nelle due simulazioni, riporto il filmato relativo alle due analisi relativo allo stesso intervallo temporale. Nei filmati viene mostrata la turbolenza del sistema.

Si nota come nel secondo caso (quello con un CFL minore di 1) si è in grado di cogliere maggiormente l'andamento dei valori massimi.

Video 1: Turbolenza CFL >1

Video 2: Turbolenza CFL <1

Detto ciò è da ricordare che questo parametro è solamente applicabile ai transitori con modelli espliciti e che non si limita alle analisi CFD ma più in generale alle diverse tipologie di analisi CAE in cui è presente la dinamica.


Pertanto, un modo per evitare questa condizione. è l'utilizzo di metodi implici, con tutte le problematiche che possono comportare.


Ing. Francesco Grispo


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