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Pillole Di FEM #8 - Punti Di Gauss e Punti Nodali – Stessa analisi ma risultati diversi.

Aggiornamento: 20 giu 2023




Dopo un arduo lavoro siete arrivati alla fine del vostro calcolo. Avete impostato una mesh impeccabile, avete simulato in maniera perfetta ogni singolo vincolo e carico. Avete addirittura impostato il solutore meglio del creatore del metodo risolutivo.


Avviate il post processore per vedere il contour plot degli stress ed ecco l'amara sorpresa.


In un angolino in basso fato caso al comando "average", impostazione che fino ad ora non avevate mai visto o non avevate mai preso in considerazione.


Cambiate quell'informazione da "average" a "nodal difference" e i valori sono completamente diversi. Come mai?


Avete appena scoperto l'esistenza di altri nodi, diversi da quelli della mesh, ma che appartengono all'elemento.


Ma andiamo per ordine.


Ogni elementi per l'analisi strutturale possiede diversi nodi (figura 1), ossia:


1) Punti Di Gauss che chiameremo ELGA (rappresentati dai punti blu)

2) Nodi Di Elemento che chiameremo ELNO (rappresentati dai punti verdi)

3) Nodi Di Eulero che chiameremo NOEU (rappresentati dai punti arancioni)



Figura 1: Rappresentazione dei punti di Gauss, dei nodi di elemento e dei nodi di eulero.

Spieghiamo queste definizioni appena date:


- I punti di Gauss, detti anche punti di integrazione, sono quei nodi dove è effettuata l'integrazione dei valori di stress. Pertanto essi sono gli unici punti in cui il valore del campo calcolato è "esatto", ossia che deriva direttamente dal calcolo FEM vero e proprio. Anche se il valore è nodale, tale valore viene esteso a tutta la zona a cui fa riferimento il nodo. Infatti di default l'elemento è diviso in zone equivalenti e ad ognuna di essere viene associato il valore del campo calcolato nel nodo. La situazione che si ottiene da un punto di vista di visualizzazione è il seguente:



Figura 2: Rappresentazione dei punti di Gauss. La parte in nero rappresenta i bordi dell'elemento mentre in rosso sono rappresentati i contorni dei domini di Gauss. I punti blu sono i punti di Gauss.


- I nodi dell'elemento invece sono quei nodi che appartengono, come dice il nome, all'elemento. I valori sono calcolati utilizzando la funzione di forma dell'elemento tramite interpolazione lineare. Per maggior chiarezza facciamo un esempio pratico. Consideriamo un elemento lineare (figura 3) che ha due nodi di Gauss in cui G1x e G2x sono le coordinate mentre in valore della grandezza di riferimento è espressa da FG1 e FG2.

Figura 3: Rappresentazione dei Nodi di elemento e di come si calcolano i valori rispetto ai punti di Gauss.

Per calcolare il valore della grandezza FEL1 in EL1x inizialmente si determina il valore del coefficiente angolare tra le due grandezze ELGA.


Il passo successivo è quello di estendere la retta fino alla coordinata del valore nodale così da ottenere il valore FEL1:


-I nodi di Eulero invece rappresentano i nodi effettivi della mesh e sono quelle zone in cui i diversi valori dei nodi di elemento sono mediati.

Per comprendere meglio quanto appena detto consideriamo due elementi beam (figura 4), ciascuna con i propri nodi di elemento, che si incontrano in un nodo di eulero (che sarebbe il vero e proprio nodo di mesh).


Il valore effettivo che andremo a calcola ed a visualizzare sarà dato dalla media matematica dei valori.




Figura 4: Nodi di Eulero rispetto ad un sistema di travi. Il valore F1N1 è espresso come media dei nodi di elemento delle due beam.



In molti post processori commerciali, di default sono mostrati i valori "Average", ossia i valori ottenuti nei nodi di Eulero.

Da tali valori si possono estrapolare le informazioni relative alla tenuta del componente o comunque le informazioni per cui abbiamo effettuato l'analisi.




Ma allora a cosa servono le altre grandezze?


Gli altri valori nodali sono necessari per stimare la buona qualità di mesh dell'elemento o della sua fittezza.


Facciamo un esempio analizzando un caso pratico.

Consideriamo la mesh coarse in figura 5.


Figura 5: Particolare di una parte meshata con una griglia coarse.

Analizzando i risultati possiamo vedere come nella zona di interesse, considerando i valori relativi ai punti di Gauss, vi sia una non continuità tra i diversi valori (lo vediamo dalla forte differenza di colori). Questo è dovuto alla presenza di un elevato gradiente degli sforzi che non siamo stati in grado di rappresentare con questa mesh (figura 6).


Figura 6: Risultati di SXX di una parte meshata con una griglia coarse.

Effettuiamo un remeshing in questa zona così da poter estrapolare informazioni più accurate.


Nella nuova mesh (figura 7) è stata effettuata una diminuzione di elemento superficiale di ben 8 volte (si è passati da 2 mm di elemento a 0.25 mm). In questo modo si è sicuri di catturare al meglio la forte variazione di stress (figura 8).


Figura 7: Particolare di una parte meshata con una griglia fine.

Figura 8: Risultati di SXX di una parte meshata con una griglia fine.

Per constatare invece se la mesh è sufficiente fitta nella zona, guardando i valori ELNO, questi devono avere una differenza di circa il 5% con i valori calcolati rispetto ai valori NOEU.

Considerando il caso appena analizzato, andiamo a confrontare i valori ottenuti (figura 9 e figura 10).


Figura 9: Risultati di SXX mesh fine e nodi ELNO.

Figura 10: Risultati di SXX mesh fine e nodi NOEU.

Come riportato in tabella 1, si nota che in questo caso siamo con un errore compreso nel 5% di scarto accettabile.


Tabella 1: Confronto Risultati ELNO e NOEU

Il mio software non presenta questi nomi. Come posso ritrovarli?


E' chiaro che i nomi con cui ogni casa produttrice di software chiama questi valori sono diversi a seconda dell'applicativo che vi apprestate ad utilizzare.

Nel caseo di CodeAster, questo utilizza proprio i nominativi qui presentati (ELGA, ELNO, NOEU) e sui quali io mi sono basato per fare questi esempi.


Altri applicativi commerciali invece utilizzano la parola "Average" per indicare i valori nei nodi di Eulero. In questo caso sarà poi compito vostro capire cosa state guardando studiando il manuale i riferimento.



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